Class 10

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.3 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.3 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
जाँचिए कि π एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय।
हलः
चूँकि π का मान दशमलव के कुछ (UPBoardSolutions.com) स्थान तक निम्न होता है,
π = 3.1415929…
जोकि असांत व अनावर्ती होता है।
अतः π एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
जाँचिए कि [latex]\frac{22}{7}[/latex] एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय।
हलः
चूँकि [latex]\frac{22}{7}, \frac{p}{q}[/latex] (जहाँ q ≠ 0) के रूप की होती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 3.
जाँचिए कि संख्या [latex]\frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}}[/latex], (UPBoardSolutions.com) सरल करने पर परिमेय संख्या प्राप्त होगी या अपरिमेय।
हलः
दी गयी संख्या = [latex]\frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}}[/latex]

चूँकि 6 एक परिमेय संख्या है। इसलिए प्राप्त संख्या 6 एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 4.
संख्या [latex]\frac{14753}{1250}[/latex] का दशमलव (UPBoardSolutions.com) प्रसार, दशमलव के कितने स्थानों के बाद स्थगित होगा?
हल:
संख्या [latex]\frac{14753}{1250}[/latex] = 11.8024
अर्थात् दी गई संख्या दशमलव के चार स्थान बाद स्थगित होगी।

प्रश्न 5.
संख्या [latex]\frac{43}{2^{2} \times 5}[/latex] का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों बाद स्थगित होगा?
हल:
यहाँ संख्या का हर [latex]\frac{43}{2^{2} \times 5}[/latex] के अभाज्य गुणनफल 2^m × 5ⁿ के रूप का है। अतः यह सांत प्रसार है।
जोकि 2 {= अधिकतम (2, 1)} स्थान के बाद सांत होगा।

प्रश्न 6.
संख्या [latex]1.23 \overline{48}[/latex] की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या = [latex]1.23 \overline{48}[/latex]
= 1.23484848…
का विस्तार सांत तथा आवर्ती है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 7.
संख्या [latex]3. \overline{35}[/latex] की (UPBoardSolutions.com) प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गई संख्या [latex]3. \overline{35}[/latex] = 3.353535… की प्रवृत्ति सांत व आवर्ती है।
अतः यह एक परिमेय संख्या होगी।

प्रश्न 8.
संख्या 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या = 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex]
चूँकि [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है जिसका मान 2.236067977… जोकि असांत व अनावर्ती है तथा 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] का मान भी असांत व अनावर्ती होगा।
अतः संख्या 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।।

प्रश्न 9.
एक अशून्य परिमेय तथा अपरिमेय संख्या की गुणा की प्रवृत्ति ज्ञात कीजिए।
हलः
एक अशून्य परिमेय तथा अपरिमेय संख्या की गुणा एक अपरिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या होगी। जैसे- 2 तथा [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक परिमेय
तथा अपरिमेय संख्या है परन्तु इसका गुणनफल 2[latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 1.3 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 10.
किसी संख्या [latex]\frac{p}{q}[/latex] में 4 द्वारा सम्तुष्ट होने वाला वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिसके लिए इसका दशमलव प्रसार सांत हो।
हलः
संख्या [latex]\frac{p}{q}[/latex] का प्रसार सांत जब होगा, (UPBoardSolutions.com) तब q का अभाज्य गुणनखण्ड 2^m × 5ⁿ के रूप का हो।

प्रश्न 11.
संख्या [latex]\frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}}[/latex] का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवृत्ति?
हलः
दी गयी संख्या = [latex]\frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}}[/latex]
चूँकि हर 2^m × 5ⁿ के रूप का नहीं है इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि दो अपरिमेय संख्या 7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex] तथा 7 – [latex] \sqrt{{5}} [/latex] का योग तथा गुणनफल, परिमेय संख्याऐं है।
हलः
अपरिमेय संख्याओं का योग = 7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex] + 7 – 15 = 14
∵ 14 एक परिमेय संख्या है अतः परिमेय संख्या का योग एक परिमेय संख्या होगी।
अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल = (7 + [latex] \sqrt{{5}} [/latex])(7 – [latex] \sqrt{{5}} [/latex])
= [(7)² – ([latex] \sqrt{{5}} [/latex])²] = 49 – 5 = 4
अतः 44 एक परिमेय संख्या है अर्थात् परिमेय संख्याओं का गुणनफल (UPBoardSolutions.com) भी एक परिमेय संख्या होगी।

Ex 1.3 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 13.
संख्या [latex]0 . \overline{32}[/latex] को इसके सरलतम रूप में लिखो।
हलः
माना x = [latex]0 . \overline{32}[/latex]
= 0.323232… …(1) (UPBoardSolutions.com)
⇒ 10x = 3.23232… ..(2)
⇒ 1000x = 323.232… …(3)
समी० (2) तथा (3) का प्रयोग करने पर,
990 x = 320
⇒ x = [latex]\frac{320}{990}=\frac{32}{99}[/latex]
अतः [latex]0 . \overline{32}=\frac{32}{99}[/latex]

प्रश्न 14.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न (UPBoardSolutions.com) में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार सांत होगा।

हलः

प्रश्न 15.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार असांत आवर्ती है।

हलः

प्रश्न 16.
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न परिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्यायें असांत-आवर्ती हैं।

हलः

प्रश्न 17.
निम्न संख्याओं को जाँचिए कि ये परिमेय हैं या (UPBoardSolutions.com) अपरिमेय। (NCERT)
(i) 3.245
(ii) 1.03458
(iii) 2.121121112…
(iv) 43.123456789
हलः
(i) दी गयी संख्या = 3.245
= [latex]\frac{3245}{1000}=\frac{3245}{2^{3} \times 5^{3}}[/latex]
चूँकि, 2³ × 5³, 2^m × 5ⁿ के रूप का है अतः संख्या 3.245 एक परिमेय संख्या है।

(ii) संख्या = 1.03458
= [latex]\frac{103458}{100000}=\frac{103458}{2^{5}, \times 5^{5}}[/latex]
चूँकि 2⁵ × 5⁵, 2^m × 5ⁿ के रूप का है, अतः इसका दशमलव प्रसार सांत है। अतः संख्या 1.03458 परिमेय संख्या है।

(iii) संख्या = 2.121121112…
स्पष्टतः दशमलव व प्रसार असांत व आवर्ती है अतः दी गयी संख्या अपरिमेय है।

(iv) संख्या = [latex]43 . \overline{123456789}[/latex] (UPBoardSolutions.com)
= 43.123456789123456789…
स्पष्टतः दशमलव व प्रसार सांत व आवर्ती है। अतः दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है।

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.2 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि HCF (26, 169) = 13 तब LCM (26, 169) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF (26, 169) = 13
हम जानते हैं कि LCM × HCF = (UPBoardSolutions.com) दोनों संख्याओं का गुणनफल
LCM × 13 = 26 × 169
LCM = [latex]\frac{26 \times 169}{13}[/latex]
= 26 × 13
= 338

प्रश्न 2.
दो संख्याओं का HCF 16 तथा गुणनफल 3072 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 16
दोनों संख्याओं का गुणनफल = 3072
हम जानते हैं कि,
LCM × HCF = दोनों संख्याओं (UPBoardSolutions.com) का गुणनफल
LCM = [latex]\frac{3072}{\mathrm{HCF}}[/latex]
= [latex]\frac{3072}{\mathrm{16}}[/latex] = 192

प्रश्न 3.
संख्या 144 के अभाज्य गुणनखण्डन में 2 की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
144 का अभाज्य गुणनफल = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
अतः संख्या 144 के अभाज्य गुणनफल में 2 की घात 4 होगी।

प्रश्न 4.
संख्या 196 के अभाज्य गुणनखण्डन में घातों का योग ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या 196 का अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 7 × 7
= 2² × 7²
अतः इस गुणनखण्ड की घातों का योग = 2 + 2 = 4

प्रश्न 5.
यदि a व 18 का LCM 36 तथा HCF 2 है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, संख्यायें a तथा 18
LCM = 36 तथा HCF = 2
हम जानते हैं कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
⇒ 36 × 2 = a × 18
⇒ a = [latex]\frac{36 \times 2}{18}[/latex] = 4
⇒ a = 4

प्रश्न 6.
यदि p व qधनात्मक पूर्णांक इस प्रकार है (UPBoardSolutions.com) कि p = ab², q = a²b जहाँ p तथा q अभाज्य संख्याऐं हैं। तब LCM (p, 4) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, p = ab² = a × b × b तथा
q = a²b = a × a × b अतः
LCM (p, q) = a × b × b × a
= a²b²

प्रश्न 7.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 व 10 तथा इनके बीच की सभी प्राकृत संख्याओं से विभाजित है। (NCERT Exemplar)
हलः
प्रश्नानुसार, 1 से 10 तक सभी प्राकृत संख्याओं का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर तथा उसके पश्चात् उनका LCM ज्ञात करते हैं। अर्थात्
1 = 1 × 1 × 1, 6 = 2 × 3
2 = 1 × 2, 7 = 7 × 1
3 = 1 × 3, 8 = 2 × 2 × 2
4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3
5 = 1 × 5, 10 = 2 × 5
अत: LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7= 2520

प्रश्न 8.
(2³ × 3 × 5) तथा (2⁴ × 5 × 7) का LCM ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, 2³ × 3 × 5 तथा (UPBoardSolutions.com) 2⁴ × 5 × 7
अतः LCM = 2⁴ × 5 × 3 × 7
= 1680

Ex 1.2 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 9.
दो संख्याओं का HCF 27 तथा LCM 162 है। यदि एक संख्या 54 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 27, LCM = 162
यदि पहली संख्या = 54
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 10.
दो संख्याओं का HCF 23 तथा LCM 1449 है। (UPBoardSolutions.com) यदि एक संख्या 161 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 23, LCM = 1449
यदि पहली संख्या = 161
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 11.
दो संख्याओं का HCF 11 तथा LCM 7700 है। यदि एक संख्या 275 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, HCF = 11, LCM = 7700
यदि पहली संख्या = 275 (UPBoardSolutions.com)
दूसरी संख्या = ?
हम जानते हैं कि,
HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या

प्रश्न 12.
संख्या 20570 का अभाज्य गुणनखण्डन ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ

अतः अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 5 × 11² × 17

प्रश्न 13.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न (UPBoardSolutions.com) संख्याओं का LCM तथा HCF ज्ञात कीजिए।
(i) 12, 15, 21
(ii) 8, 9, 25 (NCERT)
हलः
(i) संख्याएँ = 12, 15, 21
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
अत: HCF = 3
तथा LCM = 2² × 3 × 7 × 5 = 420

(ii) संख्याएँ = 8, 9, 25
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
8 = 2 × 2 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
25 = 5 × 5 × 1
अत: LCM = 2³ × 3² × 5² = 1800
तथा HCF = 1

प्रश्न 14.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको (UPBoardSolutions.com) 35, 56 तथा 91 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 आता है।
हल:
LCM (36, 56, 91) =

= 2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 13
= 3640
∵ शेषफल = 7
∴ अभीष्ट संख्या = 3640 + 7 = 3647

प्रश्न 15.
वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 28 (UPBoardSolutions.com) तथा 32 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 8 व 12 प्राप्त होते हैं।
हल:
LCM (28, 32) =

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7
= 32 × 7= 224
∵ शेषफल = 8, 12
∴ अभीष्ट संख्या = 224 – (8+12) = 204

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि 2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
यदि सम्भव हो तो माना कि 2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या है। हम यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होती है।
∴ (2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 2) भी एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या (UPBoardSolutions.com) है जो कि एक विरोधाभास है क्योंकि [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अतः (2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
हलः
माना [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक परिमेय संख्या है
∴ [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}=\frac{p}{q}[/latex]
⇒ [latex] \sqrt{{5}} [/latex] एक परिमेय संख्या है, चूँकि [latex]\frac{p^{2}+2 q^{2}}{2 p q}[/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है।
अतः [latex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

Ex 1.2 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
एक गोलाकार क्षेत्र की परिमाप 360 किमी है। तीन साइकिल सवार (UPBoardSolutions.com) इस प्रकार चलना प्रारम्भ करते हैं कि वे एक दिन में 48, 60 तथा 72 किमी की यात्रा करते हैं। वे दोबारा कब एक-दूसरे से मिलेंगे?
हलः
दिया है, गोलाकार क्षेत्र की परिमाप = 360 किमी
अतः तीनों साइकिल सवार द्वारा एक दिन में की गई यात्रा
= HCF (48, 60, 72) = 2 × 2 × 3 = 12 किमी
अतः तीनों साइकिल सवार एक साथ मिलेंगे = [latex]\frac{360}{12}[/latex] = 30 दिन में

प्रश्न 19.
यदि p व q धनात्मक अभाज्य पूर्णांक है तो सिद्ध कीजिए कि [latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex] एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
हलः
माना p तथा q दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं तब यदि सम्भव हो तो [latex] \sqrt{{p}} [/latex] तथा [latex] \sqrt{{q}} [/latex] अपरिमेय संख्या नहीं है तब [latex] \sqrt{{p}} [/latex]
तथा [latex] \sqrt{{q}} [/latex] दोनों परिमेय संख्याएँ होंगी। अतः दो परिमेय संख्याओं का योग ([latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex]) भी एक परिमेय संख्या होगी।

⇒ [latex] \sqrt{{q}} [/latex] एक परिमेय संख्या है, यह एक विरोधाभास है।
अतः [latex] \sqrt{{q}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए [latex]\sqrt{p}+\sqrt{q}[/latex] भी एक अपरिमेय संख्या होगी।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
हलः
माना 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या नहीं है।
अर्थात् 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक परिमेय संख्या होगी।

अत: 4 – 5[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि निम्न संख्याएँ अपरिमेय हैं।
(i) 3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex]
(ii) 5 + 3[latex] \sqrt{{2}} [/latex]
(iii) [latex]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/latex]
(iv) 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]
हलः
(i) यदि सम्भव हो तो माना (3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex]) एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 3 एक परिमेय संख्या है
तथा यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय (UPBoardSolutions.com) संख्या होती है। (3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex] – 3) भी एक परिमेय संख्या है अर्थात् [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है क्योंकि [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अत: 3 + [latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) यदि सम्भव हो तो माना 5 + 3[latex] \sqrt{{2}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या नहीं है
तब परिमेय संख्या की परिभाषा से,

(iv) यदि सम्भव हो तो माना कि 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है तथा हम जानते हैं कि 3 एक परिमेय संख्या है तथा यह भी जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का अन्तर भी एक परिमेय संख्या होगी। अतः (4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] – 4) (UPBoardSolutions.com) भी एक परिमेय संख्या है अर्थात् [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक परिमेय संख्या है जोकि एक विरोधाभास है। क्योंकि [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।
अतः 4 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 22.
6 गेंदों को 2, 4, 6, 8, 10, 12 मिनट के अन्तराल पर क्रमशः घुमाया (UPBoardSolutions.com) जाता है। 30 घण्टे में कितनी बार वे एक साथ घूमेंगी।
हल:
LCM (2, 4, 6, 8, 10, 12)

= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
अतः प्रत्येक 120 मिनट अर्थात 2 घण्टे बाद एक साथ घूमेंगी।
इसलिए 30 घण्टे में एक साथ घूमेंगी = [latex]\left[\left(\frac{30}{2}\right)+1\right][/latex] बार = 16 बार

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.1 वास्तविक संख्याएँ

Ex 1.1 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
1152 व 1664 को पूर्णतया विभाजित करने वाली (UPBoardSolutions.com) सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
यहाँ 1152 < 1664

∴ यहाँ पर शेषफल 0 है, अतः 1152 तथा 1664 दोनों को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या 128 है।
अर्थात् HCF (1152, 1664) = 128

प्रश्न 2.
किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक को लिखा जा सकता है। (NCERT Exemplar)
हलः
वह संख्या जिसमें प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक को लिखा जा सकता है, 2m है।
अर्थात् इसमें m = 1, 2, 3, … रखने पर संख्याऐं (UPBoardSolutions.com) 2, 4, 6, … प्राप्त होंगी, जोकि धनात्मक सम पूर्णांक हैं।

प्रश्न 3.
किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक को लिखा जा सकता है। (NCERT Exemplar)
हलः
वह संख्या जिसमें प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक को लिखा जा सकता है, 2m + 1 है।
अर्थात् इसमें m = 1, 2, 3, … रखने पर संख्याएँ (UPBoardSolutions.com) 3, 5, 7,… प्राप्त होंगी, जोकि धनात्मक विषम पूर्णांक हैं।

प्रश्न 4.
संख्या 405 व 2520 का HCF ज्ञात कीजिए।
हलः
माना a = 405 तथा b = 2520

इसलिए, HCF (405, 2520) = 45

प्रश्न 5.
संख्या 960 व 1575 का HCF (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजए।
हलः
माना a = 960 तथा b = 1575

अतः शेषफल 0 है।
इसलिए, HCF (960, 1575) = 15

प्रश्न 6.
संख्या 135 व 225 का HCF ज्ञात कीजिए।
हलः
माना a = 135 तथा b = 225

∵ शेषफल = 0
इसलिए, HCF (135, 225) = 45

प्रश्न 7.
यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार धनात्मक पूर्णांक (UPBoardSolutions.com) a व b के लिए अद्वितीय पूर्णांक q व r का अस्तित्व इस प्रकार है कि a = bq + r, तब r द्वारा सन्तुष्ट असमिका ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्या) a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b
से इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि शेषफल (Remainder) r प्राप्त होता है, जहाँ 0 < r <b
अतः a = bq + r
अतः r द्वारा सन्तुष्ट असमिका = 0 < r < b

Ex 1.1 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 8.
वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 61 से विभाजित करने (UPBoardSolutions.com) पर भागफल 27 तथा शेषफल 32 आता है।
हलः
हम जानते हैं कि विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
यहाँ दिया है, b = 61, q= 27, r = 32
अतः a = 61 × 27 + 32
= 1647 + 32 = 1679

प्रश्न 9.
संख्या 1365 को किस संख्या से विभाजित किया जाये कि भागफल 31 तथा शेषफल 32 आये?
हलः
हम जानते हैं कि a = bq + r
यहाँ दिया है, b = 1365, q= 31, r = 32
अतः 1365 = b × 31 + 32
⇒ 1365 – 32 = b × 31
1333 = b × 31
b = [latex]\frac{1333}{31}[/latex] =43

प्रश्न 10.
यदि 408 तथा 1032 के HCF को 1032m – 408 × 5 के रूप (UPBoardSolutions.com) में प्रकट किया जाता है तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
1032 = 408 × 2 + 216
408 = 216 × 1 + 192
216 = 192 × 1 + 24
192 = 24 × 8 + 0
अत: HCF (408, 1032) = 24
दिया है, 24 = 1032m – 408x × 5
⇒ 24 + 2040 = 1032m
⇒ 2064 = 1032m
m = [latex]\frac{2064}{1032}[/latex] = 2

प्रश्न 11.
यदि 657 तथा 963 के HCF को 657x + 963 × ( – 15) के रूप में प्रकट किया जाता है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
963 = 657 × 1 + 306
657 = 306 × 2 + 45
306 = 45 × 6 + 36
45 = 36 × 1 + 9
36 = 9 × 4 + 0
अत: HCF (657, 963)= 9
प्रश्नानुसार, HCF = 657x + 963x – 15
⇒ 9 = 657x – 14445
⇒ 9 + 14445 = 657x
⇒ 14454 = 657x
⇒ [latex]\frac{14454}{657}[/latex] = x
⇒ x = 2

प्रश्न 12.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 तथा 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 देती है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 245 तथा 1029 को विभाजित करने (UPBoardSolutions.com) पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 आता है।
∴245 – 5 = 240 और 1029 – 5 = 1024
दोनों अभीष्ट संख्या से पूर्णतयाः विभाजित हो जाते हैं।
अब हम 240 तथा 1024 का म०स० ज्ञात करेंगे
अतः 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 3
1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
अतः अभीष्ट संख्या HCF (240, 1024) = 16

प्रश्न 13.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 285 तथा 1249 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 9 व 7 प्राप्त होते हैं।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 285 तथा 1249 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल क्रमश: 9 व 7 प्राप्त होते हैं।
अतः 285 – 9 = 276 तथा 1249 – 7 = 1242
दोनों संख्याएँ, अभीष्ट संख्या से पूर्णतया विभाजित हो (UPBoardSolutions.com) जाते हैं, इसलिए अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
276 = 2 × 2 × 3 × 23
1242 = 2 × 3 × 3 × 3 × 23
अतः अभीष्ट संख्या HCF (276, 1242) = 2 × 3 × 23 = 138

प्रश्न 14.
संख्या 65 तथा 117 का HCF ज्ञात कीजिए तथा इसे 65x + 117y के रूप में प्रकट कीजिए।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,

अब
HCF (65, 117) = 13
अब पुनः प्रश्नानुसार, 13 = 65x + 117y …(1)
अतः समी० (1) में, x = 2 तथा y = – 1 समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।

प्रश्न 15.
यदि 56 तथा 72 का HCF, d है तो x व y के वे मान (UPBoardSolutions.com) ज्ञात कीजिए जो d = 56x + 72y को सन्तुष्ट करते हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त x व y अद्वितीय नहीं है।
हलः
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
72 = 56 × 1 + 16
56 = 16 × 3 + 8
16 = 8 × 2 + 0
अत: HCF (56, 72) = 8 = d
∵ दिया है, d = 56x + 72y
8 = 56x + 72y
8 = 56 × 4 + 72 × ( – 3)
8 = 224 – 216
अतः x व y के मान क्रमशः 4 तथा – 3 हैं।

प्रश्न 16.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 तथा 967 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 आता है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को 2053 तथा 976 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल क्रमशः 5 व 7 प्राप्त होते हैं।
अतः 2053 – 5 = 2048 तथा 967 – 7 = 960
अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
2048 = 2⁶ × 2⁵
960 = 2⁶ × 5
म०स० (2048, 960) = 2⁶ = 64
अतः अभीष्ट संख्या = 64

प्रश्न 17.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 398, 436 तथा (UPBoardSolutions.com) 542 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 तथा 15 आता है।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को दी गई संख्याओं से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 व 15 आता है।
अतः 398 – 7 = 391
436 – 11 = 425
तथा 542 – 15 = 527
अतः अभीष्ट संख्या तीनों संख्याओं को पूर्णतया विभाजित करती है।
अतः हम तीनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे
391 = 17 × 23
425 = 5 × 5 × 17
527 = 17 × 31
म०स० (391, 425, 527) = 17
अतः अभीष्ट संख्या = 17

Ex 1.1 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 18.
वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 546 तथा 764 को भाग देने पर शेषफल क्रमश: 6 तथा 8 प्राप्त होते हैं।
हल:
∵ अभीष्ट संख्या को दी गई संख्याओं 546 तथा 764 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 6 व 8 बचते हैं।
अतः 546 – 6 = 540
764 – 8 = 756
अतः अभीष्ट संख्या इन दोनों संख्याओं को पूर्णतया विभाजित (UPBoardSolutions.com) करती है। अत: अभीष्ट संख्या दोनों संख्याओं का एक गुणनखण्ड होगी।
अतः हम दोनों संख्याओं का म०स० ज्ञात करेंगे –
540 = 2² × 3³ × 5
756 = 2² × 3³ × 7
म०स० (540, 756) = 22 × 33 = 108
अतः अभीष्ट संख्या = 108

प्रश्न 19.
किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सिद्ध कीजिए कि n³ – n, 6 से विभाजित है। (NCERT Exemplar)
हलः
दिया है,
n³ – n = (n – 1) n (n + 1)
जोकि क्रमशः तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल है।
माना n एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है।
चूँकि कोई भी धनात्मक पूर्णांक 64 या 6q + 1 या 6q + 2 या 6q + 3 या 6q + 4 या 6q + 5 के रूप का होता है।
यदि n = 6q तब
(n – 1)n (n + 1) = (6q – 1) 6q (6q + 1), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 1 तब
(n – 1)n (n + 1) = 6q(6q + 1)(6q + 2), जोकि 6 से भाज्य है।
यदि n = 6q + 2,
तब (n – 1)n (n + 1) = (6q + 1)(6q + 2)(6q + 3)
= 6 (6q + 1) (3q + 1)(2q + 1) जोकि (UPBoardSolutions.com) 6 से विभाज्य है।
इसी प्रकार, (n – 1)n(n + 1), 6 से भाज्य होगा यदि n = 6q + 3; 6q + 4; 6q + 5

प्रश्न 20.
किसी पूर्णांक q के लिए सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q, 5q + 1 तथा 5q + 4 के रूप का होता है।
हलः
हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक n, 5m, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 या 5m + 4 के रूप में हैं।
यदि n = 5m, तब
n² = 25m² = 5(5m²) = 5q, जहाँ q = 5m²
यदि n = 5m + 1, तब
n² = (5m + 1)² = 5m(5m + 2) + 1 = 5q + 1, जहाँ q = m(5m + 2)
यदि n = 5m + 2, तब
n² = (5m + 2)² = 5m(5m + 4) + 4 = (UPBoardSolutions.com) 5q + 4, जहाँ q = m(5m + 4)
यदि n = 5m + 3, तब
n² = (5m + 3)² = 5 (5m² + 6m + 1) + 4 = 5q + 4, जहाँ q= (5m² + 6m + 1)
यदि n = 5m + 4, तब
n² = 5(5m² + 8m + 3) + 1 = 5q + 1, जहाँ q = 5m² + 8m + 3
अतः n², 5q या 5q + 1 या 5q + 4 के रूप में हैं।

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.2 बहुपद

Ex 2.2 Polynomials अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि α, β, γ बहुपद 2x³ + x² – 13x + 16 के मूल हैं, तब αβγ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि 2x³ + x² – 13x + 16 के मूल α,β,γ हैं, तब
मूलों का गुणनफल (α · β · γ) = [latex]\frac{-d}{a}=\frac{-16}{2}[/latex] = – 8

प्रश्न 2.
यदि त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के दो मूल 0 हैं तब तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के (UPBoardSolutions.com) दो मूल α व β, शून्य हैं तब तीसरा मूल

प्रश्न 3.
यदि बहुपद 3x³ + 5x² – 7x – 27 के दो मूलों का गुणनफल 3 है, तब तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद 3x³ + 5x² – 7x – 27 के दो (UPBoardSolutions.com) मूलों का गुणनफल 3 है।
अतः α · β = 3 तथा तीसरा मूल γ = ?

अतः तीसरा मूल γ = 3

प्रश्न 4.
यदि बहुपद 2x³ – x² – 5x – 2 के दो मूल -1 और 2 हैं तब इसका तीसरा मूल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद 2x³ – x² – 5x – 2
माना बहुपद के दो दिए गए मूल α = -1 तथा β = 2 हैं।

अतः बहुपद का तीसरा मूल γ = [latex]-\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x³ – 4x² – 7x + 10 के दो (UPBoardSolutions.com) मूल 1 और -2 हैं, तो इसका तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x³ – 4x² – 7x + 10
बहुपद के दो मूल α = 1 तथा β = -2 हैं।
माना बहुपद का तीसरा मूल γ है।

अतः बहुपद का तीसरा मूल γ = 5

प्रश्न 6.
यदि बहुपद x³ – 4x² + x + 6 का एक मूल -1 है तो अन्य मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
मानां f (x) = x³ – 4x² + x + 6
तथा बहुपद का एक मूल α = -1, β तथा γ हैं।


अतः बहुपद के अन्य मूल 3 व 2 हैं।

प्रश्न 7.
यदि त्रिघात बहुपद x³ + ax² + bx + c का (UPBoardSolutions.com) एक मूल -1 है तब अन्य दो मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हलः
त्रिघात बहुपद x³ + ax² + bx + c में,
α = -1, β = ?, γ = ?
तब मूलों का गुणनफल (α · β · γ) = [latex]\frac{-d}{a}[/latex]
⇒ α · β · γ = [latex]\frac{-c}{1}[/latex]
∵ α = -1 तो -1 × β, γ = -c ⇒ βγ = c
अतः दो मूलों का गुणनफल, βγ = c

प्रश्न 8.
यदि त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक मूल 0 है तब अन्य दो मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हलः
त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx +d में, α = 0
तब αβ + βγ + γα = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
0 × β + βγ × γ × 0 = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
0 + βγ + 0 = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
अतः दो मूलों का गुणनफल, βγ = [latex]\frac{c}{a}[/latex]

प्रश्न 9.
यदि बहुपद f (x) = x³ – 3px² + qx – r के (UPBoardSolutions.com) मूल समान्तर श्रेणी में हैं तब p,q और r के बीच में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f (x) = x³ – 3px² + qx – 7
∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं।
अतः माना α = a – d, β = a, γ = a + d
∴ α + β + γ = [latex]\frac{-b}{a}[/latex]
⇒ a – d + a + a + d = [latex]\frac{3 p}{1}[/latex]
⇒ 3a = 3p
⇒ a = P
तथा α·β + β·γ + γ·α = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
(a – d) × a + a × (a + d) + (a + d) (a – d) = [latex]\frac{q}{1}[/latex]
a = p रखने पर,
(p – d) × p + px (p + d) + (p + d) (p – d) = q
p² – pd + p² + pd + p² – d² = q
3p² – d² = q
3p² – q = d²
या d² = 3p² – q
अब α·β·γ = [latex]\frac{-d}{a}[/latex]
(a – d) × a × (a + d) = [latex]\frac{-(-r)}{1}[/latex]
a × (a² – d²) = r
a = p तथा d² = 3p² – q रखने पर,
p × [p² – (3p² – q)] = r
p(p² – 3p + q) = r
p(-2p² + q) = r
-2p³ + pq = r
Pq – r = 2p³

प्रश्न 10.
p का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बहुपद x³ + 4x² – px + 8, (x – 2) से पूरी तरह विभाजित है।
हलः
यदि बहुपद x³ + 4x² – px + 8, (x – 2) से (UPBoardSolutions.com) पूरी तरह विभाजित है तो शेषफल शून्य होगा।

चूँकि शेषफल = 0
-2p + 32 = 0
-2p = -32
2p = 32
p = [latex]\frac{32}{2}[/latex]
p = 16

Ex 2.2 Polynomials लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 11.
एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल -2, -3 और -1 हैं।
हलः
माना α = –2, β = -3 और γ = -1
तब α + β + γ = (-2) + (-3) + (-1) = -2 – 3 – 1 = -6
αβ + βγ + γα = (-2)(-3) + (-3)(-1) + (-1)(-2) = 6 + 3 + 2 = 11
तथा αβγ = (-2)(-3)(-1) = -6
अतः अभीष्ट बहुपद = x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – α·β·γ
= x³ – (-6)x² + 11x – (-6)
= x³ + 6x² + 11x + 6

प्रश्न 12.
एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके (UPBoardSolutions.com) मूल 3, [latex]\frac{1}{2}[/latex] और -1 हैं।
हलः
माना α = 3, β = 7 और γ = -1

प्रश्न 13.
एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का (UPBoardSolutions.com) योगफल, दो-दो करके मूलों के गुणनफल का योगफल और इसके मूलों का गुणनफल क्रमशः 3,-1 और -3 है। (NCERT)
हलः
माना त्रिघात बहुपद के मूल क्रमशः α, β तथा γ हैं।
प्रश्नानुसार, मूलों का योगफल (α + β + γ) = 3
तथा αβ + βγ + γα = -1
और α·β·γ = -3
तब. त्रिघात बहुपद = x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x -α·β·γ
= x³ – 3x² + (-1)x – (-3)
= x³ – 3x² – x + 3

प्रश्न 14.
यदि α, β, γ बहुपद f (x) = ax³ + bx² + cx + d के मूल हैं तब [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि f(x) = ax³ + bx² + cx + d

प्रश्न 15.
यदि α, β, γ बहुपद f (x) = x³ – ax² + bx – c के मूल हैं तब [latex]\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha}[/latex] का मान ज्ञातकीजिए।
हलः
यदि f (x) = x³ – ax² + bx – c

प्रश्न 16.
5x³ – 13x² + 21x – 14 को 3 – 2x + x² द्वारा विभाजित (UPBoardSolutions.com) करो और विभाजन एल्गोरिथम का सत्यापन करो।
हलः

भागफल = 5x – 3, शेषफल = -5
सत्यापन : विभाजन एल्गोरिथम से,
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
= (x² – 2x + 3) × (5x – 3) + (-5)
= 5x³ – 10x² + 15x – 3x² + 6x – 9 – 5
= 5x³ – 13x² + 21x – 14

प्रश्न 17.
विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि
3x² + 5, 6x⁵ + 15x⁴ + 16x³ + 4x² + 10x – 35 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
माना f (x) = 6x⁵ + 15x⁴ +16x³ + 4x² + 10x – 35 तथा g(x) = 3x² + 5

∵ शेषफल शून्य है।
∴ g(x), f (x) का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 18.
यदि बहुपद f (x) = x³ – 3x² + x + 1 के मूल a – b, a, a + b हैं तो a और b के मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद x³ – 3x² + x + 1
∵ बहुपद के मूल a – b, a, a + b हैं।

प्रश्न 19.
यदि x = 1 बहुपद f (x) = x³ – 2x² + 4x + k का एक मूल है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद f(x) = x³ – 2x² + 4x + k
यदि x = 1 बहुपद का एक मूल है तथा f(x) = 0
0 = (1)³ – 2(1)² + 4 × 1 + k
0 = 1 – 2 + 4 + k
0 = 3 + k
-3 = k या k = -3

प्रश्न 20.
विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके यह जाँच कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि क्या प्रथम बहुपद, दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है?
(i) g(x) = x² – 3, f (x) = 2x⁴ + 3x³ – 2x² – 9x – 12 (NCERT)
(ii) g(x) = 2x² – x + 3, f(x) = 6x⁵ – x⁴ + 4x³ – 5x² – x – 15
हल:
(i) g(x) = x² – 3, f(x) = 2x⁴ + 3x³ – 2x² – 9x – 12

∵ शेषफल शून्य है।
∴ g(x), f(x) का एक गुणनखण्ड है।

(ii) g(x) = 2x² – x + 3, f(x) = 6x⁵ – x⁴ + 4x³ – 5x² – x -15

∵ शेषफल शून्य है।
∴ g(x), f(x) का एक गुणनखण्ड है।

Ex 2.2 Polynomials दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 21.
सत्यापित कीजिए कि 3, -1 और [latex]\frac{-1}{3}[/latex] घात (UPBoardSolutions.com) बहुपद f (x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 के मूल हैं और तब इसके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद f (x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3
3, बहुपद f(x) का एक मूल है यदि f (3) = 0
अब f(3) = 3 × (3³ – 5(3)² – 11(3) – 3
= 81 – 45 – 33- 3
= 81 – 81 = 0
इसी प्रकार,
f(-1) = 3(-1)³ – 5(-1)² – 11(-1) – 3
= -3 – 5 + 11 – 3
= -11 + 11 = 0

प्रश्न 22.
बहुपद f (x) = x³ + 3px² + 3qr + r के मूलों के समान्तर श्रेणी में होने के प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f (x) = x³ + 3px² + 3qx + r
∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं।
अतः माना α = a – d, β = a, γ = a + d
∴ α + β + γ = [latex]\frac{-b}{a}[/latex]
a – d + a + a + d = [latex]\frac{-3 p}{1}[/latex]
⇒ 3a = -3p
⇒ a = -p
तथा α·β + β·γ + γ·α = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
(a – d) × a + a × (a + d) + (a + d)·(a – d) = [latex]\frac{3 q}{1}[/latex]
a² – ad + a² + ad + a² – d² = 3q
3a² – d² = 3q
a = -p रखने पर,
3(-p)² – d² = 3q
-3p² – d² = 3q
d² = 3p² – 3q
अब α·β·γ = [latex]\frac{-d}{a}[/latex]
(a – d) × a × (a + d) = [latex]\frac{-r}{1}[/latex]
a × (a² – d²) = -r
a = -p तथा d² = 3p² – 3q रखने पर,
(-p) x [p² – (3p² – 3q)] = -r
-p(p² – 3p² + 3q) = -r
p(-2p² + 3q) = r
-2p³ + 3pq = r
-2p³ + 3pq – r = 0
2p³ – 3pq + r = 0

प्रश्न 23.
यदि बहुपद f (x) = ax³ + 3bx² + 3cr + d के मूल (UPBoardSolutions.com) समान्तर श्रेणी में है तब सिद्ध कीजिए 2b³ – 3abc + a²d = 0
हलः
यदि f (x) = ax³ + 3bx² + 3cx + d
∵ मूल समान्तर श्रेणी में हैं।
अतः माना बहुपद के मूल α = A – D, β = A तथा γ = A + D

प्रश्न 24.
निम्न में विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, f(x) को g(x) (UPBoardSolutions.com) द्वारा विभाजित करने पर, भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = x³ – 3x + 5x – 3; g(x) = x² – 2 (NCERT)
(ii) f(x) = x⁴ – 3x + 4x + 5; g(x) = x² – x + 1 (NCERT)
(iii) f(x) = x⁴ – 5x + 6; g(x) = 2 – x² (NCERT)
हल:
(i) f(x) = x³ – 3x² + 5x – 3; g(x) = x² – 2

भागफल = (x – 3) तथा शेषफल = (7x – 9)

(ii) f(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5; 8(x) = x² – x + 1

अतः भागफल = x² + x – 3 तथा शेषफल = 8

(iii) f(x) = x⁴ – 5x + 6; g(x) = 2 – x²

अतः भागफल = -x² – 2 तथा शेषफल = -5x + 10

प्रश्न 25.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो पद (UPBoardSolutions.com) [latex]2 \pm \sqrt{3}[/latex] हैं, तो अन्य मूल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
माना बहुपद के मूल α = 2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex], β = 2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex], γ तथा δ हैं।
तब α + β + γ + δ = [latex]\frac{-b}{a}[/latex]
2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex] + 2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex] + y + δ = [latex]\frac{-(-6)}{1}[/latex]
4 + γ + δ = 6
γ + δ = 6 – 4
γ + δ = 2 …(1)
α · β · γ· δ = [latex]\frac{l}{a}[/latex]
(2 + [latex] \sqrt{{3}} [/latex])(2 – [latex] \sqrt{{3}} [/latex]).γδ = [latex]\frac{-35}{1}[/latex]
(4 – 3)γδ = -35
γδ = -35 …(2)
समी० (2) से 8 का मान समी० (1) में रखने पर,

प्रश्न 26.
f(x) = 4x⁴ + 2x³ – 2x² + x – 1 में क्या जोड़ें कि प्राप्त बहुपद g(x) = x² + 2x – 3 से विभाजित हो जाये?
हल:
f(x) = 4x⁴ + 2x³ – 2x² + x -1 तथा g(x) = x² + 2x – 3

अत: बहुपद में, -(-61x + 65) अर्थात् 61x – 65 जोड़ना पड़ेगा।

प्रश्न 27.
बहुपद f (x) = x⁴ + 2x³ – 13x² – 12x + 21 में क्या (UPBoardSolutions.com) घटायें कि प्राप्त बहुपद x² – 4x + 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाये।
हलः
बहुपद f(x) = x⁴ + 2x³ – 13x² – 12x + 21
g(x) = x² – 4x + 3

अतः बहुपद में से (2x – 3) घटाना होगा।

प्रश्न 28.
x⁴ + 4x³ – 2x² -20x – 15 के अन्य सभी मूल ज्ञात (UPBoardSolutions.com) कीजिए यदि इसके दो मूल [latex] \sqrt{{5}} [/latex] और -[latex] \sqrt{{5}} [/latex]
हलः
माना बहुपद f (x) = x⁴ + 4x³ – 2x² – 20x – 15
प्रश्नानुसार, [latex] \sqrt{{5}} [/latex] और -[latex] \sqrt{{5}} [/latex], f(x) के मूल हैं।
= (x – [latex] \sqrt{{5}} [/latex]) और (x + [latex] \sqrt{{5}} [/latex]), f (x) के गुणनखण्ड हैं।
= (x – [latex] \sqrt{{5}} [/latex])· (x + [latex] \sqrt{{5}} [/latex]), f(x) का एक गुणनखण्ड है।
= (x² – 5), f(x) का एक गुणनखण्ड है।
अत: f (x) को x² – 5 से विभाजित करने पर,

⇒ f(x) = (x² – 5)(x² + 4x + 3)
अतः f(x) = 0
तब x² – 5 = 0 तथा x² +4x +3 = 0
x² = 5 तथा x² + 3x + x + 3 = 0
x = ±[latex] \sqrt{{5}} [/latex]         x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x + 3 = 0 या x + 1 = 0
x = -3 या x = -1
अतः बहुपद f(x) के अन्य मूल -3 और -1 हैं।

प्रश्न 29.
बहुपद f (x) = x⁴ + 2x³ – 2x² + x – 1 में क्या जोड़ें कि प्राप्त बहुपद x² + 2x – 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाये।
हलः
f(x) = x⁴ + 2x³ – 2x² + x – 1
तथा g(x) = x² + 2x – 3

अतः बहुपद में, (-x + 2) अर्थात् (x – 2) जोड़ना पड़ेगा।

प्रश्न 30.
बहुपद 3x³ + 10x² – 14x + 9 में से क्या वास्तविक (UPBoardSolutions.com) संख्या घटायें कि यह (3x – 2) से पूरी तरह विभाजित हो जाये?
हलः
माना f(x) = 3x³ + 10x² – 14x + 9
तथा g(x) = (3x – 2)

∵ f(x) को g(x) से भाग देने पर 5 शेषफल आता है।
∴ बहुपद f (x) में से वास्तविक संख्या 5 घटाने पर f(x), g(x) से पूरी तरह विभाजित हो जाता है।

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1 बहुपद

Ex 2.1 Polynomials अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि बहुपद x² + x + 1 के मूल α और β हैं तब α + β का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि, (UPBoardSolutions.com)
मूलों का योग, α + β = [latex]\frac{-b}{a}=\frac{-1}{1}[/latex] = -1

प्रश्न 2.
यदि α, β बहुपद x² + x + 1 के मूल हैं तब [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 3.
यदि α, β बहुपद 4x² + 3x + 7 के (UPBoardSolutions.com) मूल हैं तब αβ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि,
मूलों का गुणनफल, α · β = [latex]\frac{c}{a}=\frac{7}{4}[/latex]

प्रश्न 4.
यदि α, β बहुपद 4x² + 3x + 7 के मूल हैं तब (UPBoardSolutions.com) [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि, मूलों का योग, α · β = [latex]\frac{-b}{a}=\frac{-3}{4}[/latex]
तथा मूलों का गुणनफल, α · β = [latex]\frac{c}{a}=\frac{7}{4}[/latex]

प्रश्न 5.
यदि α, β बहुपद x² + 6x + 2 के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तब [latex]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 6.
यदि α, β बहुपद f (x) = x² + x – 2 के मूल हैं तो [latex]\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = x² + x – 2

प्रश्न 7.
यदि α, β द्विघात बहुपद f(x) = 6x² + x – 2 के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तो [latex]\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}[/latex] का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = 6x² + x – 2

प्रश्न 8.
यदि द्विघात बहुपद f (x) = 4x² – 5x – 1 के मूल (UPBoardSolutions.com) α और β हैं, तो α²β + αβ² का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = 4x² – 5x – 1
तो α²β + αβ² = α·β (α + β)

प्रश्न 9.
यदि α, β बहुपद f(x) = x² – p(x + 1) – c के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तब (α + 1)(β + 1) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
ज्ञात करना है, (α + 1)(β + 1) = α · β + α + β + 1
= α · β + (α + β) + 1
= [latex]\frac{c}{a}+\left(\frac{-b}{a}\right)+1=\frac{-p-c}{1}+\left(\frac{p}{1}\right)+1[/latex]
= -p – c + p + 1 = 1 – c

प्रश्न 10.
यदि α, β बहुपद x² – p(x + 1) – c के मूल हैं तथा (α + 1)(β + 1) = 0, तब c का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(α + 1)(β + 1) = α · β + α + β + 1
= α · β + (α + β) + 1
= [latex]\frac{c}{a}+\left(\frac{-b}{a}\right)+1=\frac{-p-c}{1}+\left(\frac{p}{1}\right)+1[/latex]
= -p – c + p + 1 = 1 – c

दिया है, (α + 1)(β + 1) = 0
1 – c = 0
1 = c या c = 1

प्रश्न 11.
बहुपद x² + [latex]\frac{1}{6} x[/latex] – 2 के मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद, f(x) = x² + [latex]\frac{1}{6} x[/latex] – 2
अब f(x) = 0 तो, 0 = x² + [latex]\frac{1}{6} x[/latex] – 2
6x² + x – 12 = 0
6x² + 9x – 8x -12 = 0
3x(2x + 3) – 4 (2x + 3) = 0
(2x + 3)(3x – 4) = 0
2x + 3 = 0 तथा 3x – 4 = 0
2x = -3 3x = 4
x = [latex]-\frac{3}{2}[/latex] x = [latex]\frac{4}{3}[/latex]
अत: बहुपद के दो मूल [latex]-\frac{3}{2}[/latex] व [latex]\frac{4}{3}[/latex] हैं। .

प्रश्न 12.
यदि एक द्विघातीय बहुपद kx² + 3x + k का एक (UPBoardSolutions.com) मूल 2 हैं तब k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
माना
f(x) = kx² + 3x + k
⇒ kx² + 3x + k = 0, जहाँ f (x) = 0
∵ 2 समीकरण का एक मूल है।
∴ समीकरण में x = 2 रखने पर,
k(2)² + 3 × 2  +k = 0
4k + 6 + k = 0
5k + 6 = 0
5k = -6
k = [latex]-\frac{6}{5}[/latex]

प्रश्न 13.
एक द्विघातीय बहुपद x² + kx + k, k >0 के मूलों का चिह्न ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x² + kx + k, k > 0
∵ विविक्तकर, b² – 4ac > 0
∴ समीकरण के दोनों मूल धनात्मक होंगे।

Ex 2.1 Polynomials लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 14.
बहुपद f (x) = 2x² + 5x – 12 के मूल ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) तथा इसके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
हलः
बहुपद f (x) = 2x² + 5x -12
= 2x² + 8x – 3x -12
= 2x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(2x – 3)
अब f(x) = 0
तो (x + 4)(2x – 3) = 0
x + 4 = 0 तथा 2x – 3 = 0
x = -4 2x = 3 ⇒ x = [latex]\frac{3}{2}[/latex]

प्रश्न 15.
यदि बहुपद f (x) = ax² – 6x + 4 के मूलों का गुणनफल 4 है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = ax² – 6x + 4
प्रश्नानुसार, मूलों का गुणनफल = 4

प्रश्न 16.
द्विघात बहुपद f (x) = 6x² – 3 के मूल ज्ञात कीजिए तथा (UPBoardSolutions.com) मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
हलः
बहुपद f (x) = 6x² – 3
f(x) = 0 रखने पर,

प्रश्न 17.
निम्न प्रत्येक बहुपदों के मूल ज्ञात कीजिए तथा इनके (UPBoardSolutions.com) मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
(i) f₁(x) = x² – 2x – 8 (NCERT)
(ii) f₂(x) = 4x² – 4x + 1 (NCERT)
(iii) f₃(x) = x² – 15 (NCERT)
हल:
(i) बहुपद f₁ (x) = x² – 2x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= x(x – 4) + 2(x – 4)
= (x – 4)(x + 2)
यदि f (x) = 0 हो तो,
(x – 4)(x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 तथा x + 2 = 0
x = 4 x = -2
∴ f(x) के मूल 4 तथा -2 हैं।

(ii) बहुपद f₂(x) = 4x² – 4x + 1
= 4x² – 2x – 2x + 1
= 2x(2x – 1) -1(2x – 1)
= (2x – 1)(2x – 1)
यदि f (x) = 0 हो तो,
(2x – 1)(2x – 1) = 0
⇒ 2x – 1 = 0 तथा 2x – 1 = 0
x = [latex]\frac{1}{2}[/latex] x = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

प्रश्न 18.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल (UPBoardSolutions.com) बहुपद f (x) = ar² + bx + c, a ≠ 0, c ≠ 0 के मूलों के व्युत्क्रम हैं।
हलः
बहुपद f (x) = ax² + bx + c
माना बहुपद के दो मूल α व β हैं।

Ex 2.1 Polynomials दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 19.
एक द्विधात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं-
(i) 1, 1 (NCERT)
(ii) [latex]\frac{1}{4}[/latex], -1 (NCERT)
(iii) 4, 1 (NCERT)
हल:
(i) दिया है, α + β = 1 तथा α · β = 1
अतः द्विघात बहुपद = x² – (α + β)x + α ·β = x² – x + 1

(ii) दिया है, α + β = [latex]\frac{1}{4}[/latex] तथा α ·β = -1
अतः द्विघात बहुपद = x² – (α + β) x + α ·β
= x² –  [latex]\frac{1}{4}[/latex]x -1

(iii) दिया है, α + β = 4 तथा α · β = 1
अतः द्विघात बहुपद = x² – (α + β)x + α · β
= x² – 4x + 1

प्रश्न 20.
द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूलों का योग 8 (UPBoardSolutions.com) तथा गुणनफल 12 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, मूलों का योग (α + β) = 8
तथा मूलों का गुणनफल (α · β) = 12
अतः द्विघात बहुपद f(x) = x² – (α + β)x + α·β
⇒ f(x) = x² – 8x + 12
अब f(x) = 0 रखने पर,
तब, x² – 8x + 12 = 0
x² – 6x – 2x + 12 = 0
x(x – 6) -2(x – 6) = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
x – 6 = 0 तथा x – 2 = 0
x = 6 x = 2
x = 6 व 2

प्रश्न 21.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग -5 तथा गुणनफल 6 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, मूलों का योग (α + β) = -5
तथा मूलों का गुणनफल (α·β) = 6
अतः द्विघात बहुपद f(x) = x² – (α + β) x + α·β
= x² – (-5)x + 6
= x² + 5x + 6
यदि f(x) = 0 हो तब, x² + 5x + 6 = 0
x² + 3x + 2x + 6 = 0
x(x + 3) + 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
⇒ x + 3 = 0 तथा x + 2 = 0
x = -3 x = -2
अतः मूल -3, -2 हैं।

प्रश्न 22.
एक द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल 5 और -3 हैं।
हलः
मूलों का योगफल α + β = (5) + (-3) = 5 -3 = 2
तथा मूलों का गुणनफल α·β = 5 × -3 = -15
∴ अभीष्ट बहुपद है,
x² – (α + β)x + αβ = x² – 2x – 15

प्रश्न 23.
एक द्विघातीय बहुपद के मूलों का योगफल तथा मूलों (UPBoardSolutions.com) का गुणनफल क्रमशः 3 और -10 हैं तब द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए।
हलः
मूलों का योगफल (α + β) = 3
मूलों का गुणनफल (α – β) = -10
∴ अभीष्ट बहुपद है,
x² – (α + β)x + α·β = x² – 3x – 10

प्रश्न 24.
यदि α, β एक बहुपद के मूल हैं तथा α + β = 6 और αβ = 4 है तो बहुपद लिखिए।
हलः
यदि α + β = 6 और α·β = 4
तो अभीष्ट बहुपद है,
x² – (α + β)x + α·β = x² – 6x + 4

Balaji Publications Mathematics Class 10 Solutions